原文作者，Evelyn Lamb，數學及科學普及自由作家。

翻譯作者，Math001，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，donkeycn。

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我必須坦誠交代我曾經對長數軸（long line）有著微微的敵意。但是當我看到Mike Lawler發的推文的時候，我覺得應該給再長數軸一個表達自己的機會。

Mike Lawler:

我對你的愛就像長數軸 —— 真情如往，僅更久長

就是說，長數軸是拓撲空間中的一張甜膩膩的情人節卡片。試圖能找到它背后所有的意義，就是讓我在數學里找尋愛情的表達，最幸福的事情莫過于此。

就像它名字表達的那樣，長數軸真的很長，某種意義上說它比通常的實數軸“長”。我們能把通常的實數軸看成一串單位長度的區間一個接著一個拼接而成的直線。或者說明確一點，區間的個數與整數一樣多。長數軸基本也一樣，只不過區間的個數與實數一樣多而已。

無論如何，如果這樣的長數軸能作出來，應該是很贊的事情。但是，真相有點詭異，它會讓我們撞入集合論錯綜復雜的旅程之中。集合論中關于無窮的很多斷言曾經讓數學家康托瘋掉。我這里有言在先！

為了定義長數軸，我們得先討論一下不同數量的無窮。當數學家們討論集合的數量，或者說集合的基數，他們用的思想是一一對應：如果兩個集合中，從第一集合里取出的每一個元素，都能從第二個集合取出一個元素與之配對，一個不多也一個不少，我們就說這兩個集合有相同數量。換種說法，如果我們不想數手指的話，我們把兩個拇指對起來，再把食指對起來，一直下去，直到把兩只手的所有手指都對應了起來，于是我們知道，兩只手的手指數量是相同的。

當我們把此方法用于無限集合的時候，奇怪的事情就會發生。雖然偶數只是整數的一部分，但是整數和偶數是一樣多的。我們可以把整數寫在左邊一列，偶數寫在右邊一列，左邊寫n的地方，對應的右邊寫上2n。于是，我們找到了一個一一對應，這兩個集合元素的數量是一樣多的。然而對于有限集，你是找不到這樣的一個一一對應的。

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實數集合已經被證明是比整數多的，所以我們知道了至少有兩種不同數量的無限集合。實際上，我們有從一個數量少一些元素的集合得到元素數量更多的集合的一般方法。所以，我們可以從整數的無窮開始不斷生成無窮多個擁有元素數量越來越多的無窮集合。對于整數集合的無窮，我們把它叫做可數無窮。

這和我們要說的長數軸有什么關系？長數軸的確切定義其實不是用實數多個單位區間拼起來。而是把最小的不可數無窮(smallest uncountable infinite)多個區間拼在一起而組成的。

到了這里，我們將撞入連續統假設問題。連續統假設是說實數的無窮就等于最小的不可數的無窮。所以，如果實數的基數和最小的不可數的無窮相等，那么我先前長數軸的描述才是準確的。如果不是，實數無窮和整數無窮之間還有別的無窮的話，構造長數軸的區間數量應該用那個最小的不可數無窮替代。

那么，連續統假設是真的嗎？好消息是，你認為它是真的是沒問題的！1963年，Cohen證明了連續統假設和決定數學底層的策梅洛-弗蘭克爾公理系統不矛盾。連續統假設不成立，也和策梅洛-弗蘭克爾公理系統不矛盾（編者修正：這是一個誤解，實際上連續統假設與策梅洛-弗蘭克爾公理系統不矛盾在20世紀30年代就由哥德爾證明了，Cohen證明的只是后者，即，即便連續統假設不成立，也和策梅洛-弗蘭克爾公理系統不矛盾）。就是說，連續統假設這個命題和數學的公理體系是獨立的。你不可能用現有的數學公理證明或者否定連續統假設。一些人認為，這說明我們的數學底層還不完美，但我更傾向于支持另外一種說法——我們可以在一些沒有矛盾公理體系之間自由切換。

我們是否決定接受連續統假設，取決于我們用長數軸能做多少事情。它有什么好處？和許多我喜愛的拓撲空間一樣，長數軸可以用來打破你之前喜愛的數學用具——這是一個絕妙的反例。在這種情況下，長數軸告訴我們如果我們有太多好東西，也許并不一定是好事。最基本的，在長數軸上，我們不能建立微積分體系，因為它太長了。

至于原因，這牽涉到很艱深的技術手段，特別是你剛剛費盡腦汁思考完“最小的不可數無窮”的時候，我們來說說建立微積分體系要滿足的三個條件也許更容易接受一些：第一，從局部看，它要和某個維數的歐氏空間相似；第二，它得是豪斯多夫的，就是說你可以讓空間內的點分離開；第三，它還得是第二可數的，就是說它能從比較少（可數多）的集合中構建出來。長數軸不滿足最后一條。雖然，你可能認為長數軸基本上和普通實數軸一樣，但是它們其實有根本的不同，就是因為長數軸太長了。

“吾愛汝深深幾許？今且聽吾細數之…”(How do I love thee? Let me count the ways…)，如果你心里總惦記長數軸的話，這勃朗寧夫人的詩句聽起來也沒那么動人了，“吾愛汝深深幾許？勿可令吾細數之,猶如集構長數軸, 實為永世不可數！” 雖然詩意少了些，但貌似能更浪漫的表達你的感情！

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